こんにちは。行政書士法人IMSの伊東です。
帰化許可申請が許可された場合、ご自身で決めた氏名を名乗ることができます。現在名乗っている通称名を引き続き使用される方が多いようです。通称名から変更することもできますが、どんな名前でもよいというわけではなく、一定の制限の中で決めることになります。
申請の際に、申請書に希望する氏名を記入することになり、申請までに氏名を決めておく必要があります。審査期間中に変更することも可能です。
具体的には戸籍法、戸籍法施行規則に定めがあります。
戸籍法第50条1項 子の名には，常用平易な文字を用いなければならない
2項 常用平易な文字の範囲は，法務省令でこれを定める
戸籍法第50条2項の常用平易な文字の範囲：戸籍法施行規則第60条に定められています。
戸籍法施行規則第六十条
戸籍法第五十条第二項の常用平易な文字は、次に掲げるものとする。
一 常用漢字表（平成二十二年内閣告示第二号）に掲げる漢字（括弧書きが添えられているものについては，括弧の外のものに限る。）
二 別表第二に掲げる漢字
三 片仮名又は平仮名（変体仮名を除く。）
整理すると以下になります。
（1）常用漢字
（2）戸籍法施行規則別表第二に掲げる漢字
（3）人名漢字
（4）ひらがな
（5）カタカナ
常用漢字表：https://www.bunka.go.jp/kokugo_nihongo/sisaku/joho/joho/kijun/naikaku/kanji/
https://www.bunka.go.jp/kokugo_nihongo/sisaku/joho/joho/kijun/naikaku/pdf/joyokanjihyo_20101130.pdf
法務省：子の名に使える漢字 https://www.moj.go.jp/MINJI/minji86.html
人名用漢字表：https://www.moj.go.jp/content/001131003.pdf
戸籍統一文字情報：https://houmukyoku.moj.go.jp/KOSEKIMOJIDB/M01.html
日本国籍となった場合にも現在の外国籍での氏名を使用する方もいらっしゃいます。その場合、戸籍簿の氏名はアルファベット表記にはできず、カタカナ表記になります。パスポートは、アルファベット表記がされる書類の一つです。アルファベット表記が必要な書類にはカタカナ表記に応じたローマ字表記で記載がされ、通常、ヘボン式での表記となります。「TURNER ELIZABETH」さんが許可され、現在の氏名のままで日本国籍を取得した場合、「ターナー エリザベス」になり、ヘボン式であれば、「TANA ERIZABESU」になります。好ましくないと思う場合にはアルファベット表記がわかるもの（出生証明書や旧国籍のパスポート）を提示することで、非ヘボン式のアルファベット表記にできます。
こちらは申請を行うパスポートセンターによって提示する書類が異なりますので、日本のパスポート申請の際にご確認いただくことになります。
なお、パスポートに表記された氏名は変更ができませんので、取得手続きの際には、慎重に行ってください。
ヘボン式ローマ字綴方表：https://www.ezairyu.mofa.go.jp/passport/hebon.html
